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Les équations résultantes ne seront qu’au nombre de $2n-2,$ parce que le $\delta$ du dernier coefficient différentiel manque dans la première partie de $\delta \int V\operatorname {d} x,$ comme le fait voir bien évidemment la forme des coefficiens de $\delta p,\delta q,\ldots .$ Par exemple, s’il n’y a que cinq coefficiens différentiels $p,q,r,s,t,$ la première partie de $\delta \int V\operatorname {d} x,$ finira par $T\delta s,$ et ne contiendra point $\delta t.$ Mais il faut qu’aux deux limites l’intégrale de l’équation donne pour $x=x'$ ou $x'',\ y=y'$ ou $y''.$ Cela fournira deux nouvelles relations qui, jointes aux $2n-2$ dont il vient d’être question, compléteront le nombre total de celles qui seront nécessaires pour la détermination des $2n$ constantes arbitraires introduites par l’intégration de (A).

Il est presque superflu d’observer que, si quelques-unes seulement des quantités $p',p'',q',q'',$ étaient données, il n’y aurait à égaler à zéro que les coefficiens des $\delta p',\ \delta p'',\ \delta q',\ \delta q'',\ldots$ non donnés. Les autres relations nécessaires pour déterminer les $2n$ constantes arbitraires de l’intégrale de (A), seraient fournies par celles des quantités $p',p'',q',q'',\ldots$ dont les valeurs seraient connues.

Nous remettons à traiter plus tard du cas où les limites ne seraient pas invariablement fixées, mais assujetties seulement à la condition de se trouver sur deux lieux géométriques donnés ; et nous nous occuperons, pour le présent, des cas où l’équation (A) est susceptible de quelques simplifications.

§. IV, Simplifications du procédé général.

Il est de cas où l’équation

$N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots =0\qquad$(A)

peut être simplifiée.

1.^o Quand $V$ ne contient pas $y,$ on a $N=0,$ et par suite