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${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}-\ldots =0\,;$

ce qui donne, en multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant,

$P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots =C\,;\qquad$(C)

équation de l’ordre $2n-1.$ Si en outre $p$ manquait dans $V,$ l’équation pourrait, par un procédé analogue, être amenée à l’ordre $2n-2,$ et ainsi de suite.

2.^o Quand $V$ ne contient pas $x,$ et que l’on a conséquemment

$V=\operatorname {f} (y,p,q,\ldots ),$

et par suite

$\left[{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right]=Np+Pq+Qr+\ldots .$

Si nous substituons ici la valeur de $N$ tirée de l’équation (A), qui est

$N={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}-\ldots ,$

nous aurons

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=Pq+Qr+Rs+\ldots +p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}+p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}-\ldots \,;$

multipliant par $\operatorname {d} x,$ et observant que

$q\operatorname {d} x=\operatorname {d} p,\qquad r\operatorname {d} x=\operatorname {d} q,\qquad s\operatorname {d} x=\operatorname {d} r,\ldots ,$

il viendra