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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=P\operatorname {d} p+Q\operatorname {d} q+R\operatorname {d} r+\ldots +p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x-p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x-\ldots$

et par conséquent

$V=\int P\operatorname {d} p+\int Q\operatorname {d} q+\int R\operatorname {d} r+\ldots$

$+\int p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x-\int p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+\int p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x-\ldots$

Or, en intégrant par parties, on trouve

${\begin{aligned}&\int P\operatorname {d} p=Pp-\int p{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x,\\\\&\int Q\operatorname {d} q=Qq-p{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+\int p{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x,\\\\&\int R\operatorname {d} r=Rr-q{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+p{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\int p{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}\operatorname {d} x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

ce qui donne, en subtituant,

$V=p\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)+q\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)$

$+r(R-\ldots )+\ldots +C\,;\quad$(D)

qui n’est plus que de l’ordre $2n-1.$

3.^o Quand $V$ ne contient ni $x$ ni $y,$ on peut abaisser l’équation (A), qu’on appelle quelquefois l’équation indéfinie, parce que son intégrale donne l’équation du maximum ou du minimum, avec des constantes arbitraires. On a alors, à la fois,

$M=0,\qquad N=0,$