![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}{c}}={\frac {x}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ac304ee8b3cda67cd67ea63da545a5eb37871a)
donc aussi
![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {c}{y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdac9302b1e012ee3ddfc8ac02322eed89befb5)
ou
![{\displaystyle \quad \operatorname {Log} .{\frac {y-{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}{c}}=-{\frac {x}{c}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b6dddefe98f553aa51d6f48c2804d251177806)
cela donne
![{\displaystyle y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}=ce^{+{\frac {x}{c}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bde7087a16191d35f05ccfacca8a48bb80557b)
![{\displaystyle y-{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}=ce^{-{\frac {x}{c}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dacbab2bc7145aaeca853b95e09516a07950fa1)
d’où en ajoutant,
![{\displaystyle 2y=c\left(e^{+{\frac {x}{c}}}+e^{-{\frac {x}{c}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ee77148ee68f8bf03e847bdbf200436d652609)
équation que l’on reconnaît pour celle d’une chaînette dont l’axe principal est celui autour duquel la révolution s’exécute[1].
Soit proposé, en second lieu, de trouver la courbe pour laquelle l’aire comprise entre un arc, les deux normales extrêmes et l’arc correspondant de la développée soit un maximum ?
Soit
l’aire dont il s’agit, et
le rayon de courbure ; on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} u={\frac {1}{2}}r{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}}{2q}}={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{2}\operatorname {d} x}{2q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c11c17b473997cca012899e19bfac1782f372ef)
d’où
- ↑ Voyez Annales, tom. 1, pag. 58.
J. D. G.