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$\operatorname {Log} .{\frac {y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}{c}}={\frac {x}{c}},$

donc aussi

$\operatorname {Log} .{\frac {c}{y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}}\quad$ou$\quad \operatorname {Log} .{\frac {y-{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}{c}}=-{\frac {x}{c}}\,:$

cela donne

$y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}=ce^{+{\frac {x}{c}}},$

$y-{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}=ce^{-{\frac {x}{c}}}\,;$

d’où en ajoutant,

$2y=c\left(e^{+{\frac {x}{c}}}+e^{-{\frac {x}{c}}}\right)\,;$

équation que l’on reconnaît pour celle d’une chaînette dont l’axe principal est celui autour duquel la révolution s’exécute^[1].

Soit proposé, en second lieu, de trouver la courbe pour laquelle l’aire comprise entre un arc, les deux normales extrêmes et l’arc correspondant de la développée soit un maximum ?

Soit $u$ l’aire dont il s’agit, et $r$ le rayon de courbure ; on aura

$\operatorname {d} u={\frac {1}{2}}r{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}}{2q}}={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{2}\operatorname {d} x}{2q}},$

d’où

1. Voyez Annales, tom. 1, pag. 58.
   J. D. G.