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faudra la déterminer de manière à satisfaire non seulement aux conditions que nous avons indiquées, en traitant du maximum et du minimum de $\int V\operatorname {d} x,$ mais encore aux conditions $\int V'\operatorname {d} x=l',$ $\int V''\operatorname {d} x=l'',\ldots \,;$ et c’est à quoi serviront les constantes $c',c'',c''',\ldots .$ Il était nécessaire de les introduire, pour n’avoir pas moins de quantités à déterminer que de conditions à remplir. Du reste, nous aurons ici autant de conditions qu’il en faudra pour en assigner les valeurs.

Soit, par exemple, à trouver, parmi toutes les courbes isopérimètres, celle qui à la plus grande aire.

On a, en général, pour la courbe de plus grande aire.

$\delta \int y\operatorname {d} x=0.$

Si $l$ est la longueur donnée, on aura, en outre

$\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=l\,;$

nous poserons donc

$\delta \int \left(y+c{\sqrt {1+p^{2}}}\right)\operatorname {d} x=0\,;$

nous aurons ainsi

${\begin{aligned}V&=y+c{\sqrt {1+p^{2}}},\\M&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\N&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}=1,\\\\P&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} p}}={\frac {cp}{\sqrt {1+p^{2}}}},\end{aligned}}$

et tous les coefficiens ultérieurs seront nuls. L’équation (D) qui est celle qui convient au cas actuel, et qui se réduit à

$V=pP+C,$

deviendra, en substituant