![{\displaystyle y+c{\sqrt {1+p^{2}}}={\frac {cp^{2}}{\sqrt {1+p^{2}}}}+C\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0ccd08779509b5482f4240a8d8bdb209ffc88f)
ou bien
![{\displaystyle y+{\frac {c}{\sqrt {1+p^{2}}}}=C,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1952b32b7bbd228cf4506489641c7e9561faab)
d’où
![{\displaystyle \quad p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}{y-C}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03a4ade4e3fd563c9dfa2cd11a0da2bae4d6613)
et, par suite
![{\displaystyle {\frac {(y-C)\operatorname {d} y}{\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}}=\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ba1e445c0748be00c426808a224f3fe65e4138)
ce qui donne, en intégrant
![{\displaystyle {\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}=-x+C',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe1fce7d2b782cb25434cd1f79e9d3a4551dc91)
c’est-à-dire
![{\displaystyle (y-C)^{2}+(x-C')^{2}=c^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272190dd234d4381a6b0d6c8358dbe9979a70735)
équation du cercle. Il restera à déterminer les constantes
par les conditions que l’arc se termine à deux points donnés, et que sa longueur entre ces deux points soit égale à ![{\displaystyle l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d770377c901876265c4675eb010cd64bac0bb9aa)
Il est à remarquer qu’ayant dû poser ici
![{\displaystyle \delta \int y\operatorname {d} x=0\,;\qquad \delta \int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f053e869e87d7607f5830d379149a467d34f54)
ce sont aussi les mêmes équations que nous aurions posées s’il avait été question d’assigner, parmi les arcs de courbes qui comprennent une aire donnée, celui de moindre longueur ; de sorte que le cercle doit résoudre, à la fois, les deux problèmes. Il est clair, en effet, que si, à longueur égale, le cercle embrasse la plus grande aire, il s’ensuit qu’il contient le plus de surface sous le moindre développement possible ; et, par suite, à aire égale, il aura la moindre longueur.
Proposons-nous encore d’assigner, parmi les courbes isopérimètres, celle qui engendre l’aire de révolution minimum ?
Nous aurons ici l’équation
![{\displaystyle \delta \int (y+c){\sqrt {1+p^{2}}}\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6c1c3d7cdd3c08cdd3656b5879be4ba3b18d8a)
En faisant