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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$y+c{\sqrt {1+p^{2}}}={\frac {cp^{2}}{\sqrt {1+p^{2}}}}+C\,;$

ou bien

$y+{\frac {c}{\sqrt {1+p^{2}}}}=C,\qquad$d’où$\quad p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}{y-C}}\,;$

et, par suite

${\frac {(y-C)\operatorname {d} y}{\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}}=\operatorname {d} x\,;$

ce qui donne, en intégrant

${\sqrt {c^{2}-(y-C)^{2}}}=-x+C',$

c’est-à-dire

$(y-C)^{2}+(x-C')^{2}=c^{2}\,;$

équation du cercle. Il restera à déterminer les constantes $c,C,C',$ par les conditions que l’arc se termine à deux points donnés, et que sa longueur entre ces deux points soit égale à $l.$

Il est à remarquer qu’ayant dû poser ici

$\delta \int y\operatorname {d} x=0\,;\qquad \delta \int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;$

ce sont aussi les mêmes équations que nous aurions posées s’il avait été question d’assigner, parmi les arcs de courbes qui comprennent une aire donnée, celui de moindre longueur ; de sorte que le cercle doit résoudre, à la fois, les deux problèmes. Il est clair, en effet, que si, à longueur égale, le cercle embrasse la plus grande aire, il s’ensuit qu’il contient le plus de surface sous le moindre développement possible ; et, par suite, à aire égale, il aura la moindre longueur.

Proposons-nous encore d’assigner, parmi les courbes isopérimètres, celle qui engendre l’aire de révolution minimum ?

Nous aurons ici l’équation

$\delta \int (y+c){\sqrt {1+p^{2}}}\operatorname {d} x=0.$

En faisant