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$y+c=y',\quad$d’où ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x}},\qquad$ou $p=p',$

notre équation deviendra

$\delta \int y'{\sqrt {1+p'^{2}}}.\operatorname {d} x=0\,;$

équation que nous avons déjà traitée ci-dessus, et qui nous a conduit à l’équation de la chainette ; c’est donc encore cette courbe qui résout ce dernier problème. Il arrive seulement ici que son axe principal se trouve à la distance $c$ de l’axe de révolution. Du reste, la constante $c,$ ainsi que les autres qu’introduira l’intégration de l’équation indéfinie, provenant de $\delta \int y'{\sqrt {1+p'^{2}}}.\operatorname {d} x=0,$ se détermineront comme dans l’exemple qui précède celui-ci.

§. VI. Application aux fonctions de trois variables.

Si, dans l’équation

$\delta \int V\operatorname {d} x=0,$

$V$ contenait, outre $x$ et $y,$ une troisième variable, $z$ liée aux deux premières par une équation de relation, on l’exprimerait au moyen de celles-ci, et on ramènerait $V$ à ne plus contenir ainsi que $x,y,p,q,\ldots .$

Qu’il soit question, par exemple, de trouver la courbe la moins longue que l’on puisse tracer sur un cylindre, entre deux points de sa surface. En prenant l’axe du cylindre pour axe des $y$ et désignant par $a$ son rayon, l’équation de sa surface sera

$z={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\quad$d’où$\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}.$

On aura ensuite, pour la longueur de l’arc

$s=\int {\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}=\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}+{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}}$

$=\int \operatorname {d} x{\sqrt {{\frac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}+p^{2}}}\,;$

de sorte que la condition du minimum sera