Nous avons vu, dans ce qui précède, comment, quand on fixe les deux limites entre lesquelles le maximum ou le minimum doit avoir lieu, on peut déterminer les constantes qu’introduit, en général, l’intégration de l’équation indéfinie
On pourrait ne pas donner proprement les deux limites, mais seulement les assujettir à la condition de se trouver sur deux courbes données. Il y aura alors inconnues à déterminer, savoir, les constantes introduites par l’intégration de l’équation indéfinie, et les quatre coordonnées des deux extrémités de la courbe cherchée. Or ici les ne sont plus nulles ; mais, puisqu’elles ont lieu le long des courbes données, ce sont les différentielles des coordonnées de ces courbes. En prenant donc les différentielles de leurs équations, nous pourrons exprimer et respectivement, en fonction de et En faisant la substitution de leurs valeurs dans la première partie du développement de il s’y trouvera variations dont nous pourrons séparément égaler les coefficiens à zéro. Ensuite, devront satisfaire aux deux courbes données, ce qui fournira deux relations ; ils devront enfin satisfaire à la courbe trouvée, ce qui en fournira deux autres ; de sorte qu’on aura en tout conditions pour déterminer les inconnues.
Supposons, par exemple, que l’on demande une courbe, qui se terminant à deux hyperboles équilatères
