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produise une aire de révolution maximum autour de l’axe des $x.$ On posera toujours

$\delta \int y\operatorname {d} x={\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;$

ce qui donnera, en opérant comme ci-dessus

$y={\frac {1}{2c'}}\left(e^{+{\frac {x}{c}}}+c^{2}e^{-{\frac {x}{c}}}\right).$

Pour déterminer les deux constantes $c,c',$ ainsi que les points extrêmes de la courbe, c’est-à-dire, pour déterminer les six inconnues $c,c',x',y',x'',y'',$ nous écrirons les premiers termes du développement de $\delta \int y\operatorname {d} x={\sqrt {1+p^{2}}},$ qui sont ici

${\begin{aligned}&{\frac {y'}{\sqrt {1+p'^{2}}}}\delta x'+{\frac {p'y'}{\sqrt {1+p'^{2}}}}\delta y'\\\\-&{\frac {y''}{\sqrt {1+p''^{2}}}}\delta x''-{\frac {p''y''}{\sqrt {1+p''^{2}}}}\delta y''.\end{aligned}}$

Or, la différentiation des équations des deux hyperboles donne

$\delta y'=-{\frac {a^{2}}{x'^{2}}}\delta x',\qquad \delta y''=-{\frac {a^{2}}{x''^{2}}}\delta x'',$

en substituant donc, il viendra

${\frac {y'}{\sqrt {1+p'^{2}}}}\left(1-{\frac {a^{2}p'}{x'^{2}}}\right)\delta x'-{\frac {y''}{\sqrt {1+p''^{2}}}}\left(1+{\frac {b^{2}p''}{x''^{2}}}\right)\delta x''.$

Il faudra donc poser

$1-{\frac {a^{2}p'}{x'^{2}}}=0,\qquad 1+{\frac {b^{2}p''}{x''^{2}}}=0\,;$

et comme d’ailleurs

$-{\frac {a^{2}}{x'^{2}}}={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}},\qquad {\frac {b^{2}}{x''^{2}}}={\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} x''}}\,;$

cela reviendra à

$1+p'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=0,\qquad 1+p''{\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} x''}}=0\,;$