On sait aussi qu’un même le paraboloïde hyperbolique peut être engendré de deux manières, par le mouvement d’une droite qui s’appuye continuellement sur deux autres, en restant constamment parallèle à un plan fixe, et qu’on déduit le deuxième mode de génération du premier, en prenant pour directrices deux situations quelconques de la génératrice, et pour plan directeur un plan parallèle à la fois aux deux directrices primitives.
Le point étant un des points de l’axe commun du cône et du cylindre, et le point un des points de la tangente à l’hélice en et la droite étant d’ailleurs horizontale, il s’ensuit que cette droite représente une des situations de la génératrice, dans le mode primitif de génération ; et, comme représente une autre, il s’ensuit que ces deux droites peuvent être prises pour directrices de seconde génération du paraboloïde. Il faudra prendre alors pour plan directeur un quelconque des plans parallèles à la fois à l’axe du cône et à la tangente à l’hélice en qui sont les deux directrices de première génération ; et, comme la première de ces deux directrices est verticale, ce plan le sera également.
Faisons passer le plan directeur par le point sa trace sur le plan horizontal passera par et sera parallèle à Soit le point où cette trace rencontre alors la droite menée du point au point s’appuyant sur les deux directrices de seconde génération, et se trouvant en outre dans le plan directeur, appartiendra au paraboloïde ; et, comme la droite lui appartient également, il s’ensuit que le plan conduit par ces deux droites sera le plan tangent en au paraboloïde et conséquemment à l’hélicoïde ; et devra conséquemment contenir la tangente en à la spirale conique.
Ce plan passant par l’horizontale et par le point sa trace sur le plan horizontal devra être une parallèle conduite par à et coupant en quelque point Puis donc que le point se trouve ainsi appartenir au plan tangent
