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de la fonction $Z$ qui répondent à des $x$ négatives étant nulles, d’après ce qu’on a dit plus haut, on aura

$\Sigma t^{x}Z_{x-i',x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}=t^{i'}T_{x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}},$

$i'$ étant un nombre entier et positif ; et, à cause que cette fonction $i'$ est égale à l’unité quand $x=0,$ le premier terme de la fonction $T$ sera aussi égal à un. Si donc nous multiplions l’équation (1) par $tx,$ que nous donnions ensuite à $x$ toutes les valeurs comprises depuis $x=1$ jusqu’à $x=\infty ,$ et que nous fassions la somme de toutes les équations qui répondent à ces valeurs, nous aurons pour résultat

$T_{x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}-1=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {tx_{1}}{s}}T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {t^{2}x_{2}}{s}}T_{x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {t^{3}x_{3}}{s}}T_{x_{1},x_{2},x_{3}-1,\ldots x_{i}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\qquad T_{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}-1}\end{aligned}}\right\}(2)$

D’ailleurs, en ayant égard à l’expression de $X,$ trouvée à la fin du n.^o 1, et qui doit aussi être la valeur de la fonction $Z,$ on voit qu’on doit avoir

$T_{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=$

$(s+1)\int (1-y)^{s}(1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y\,;$