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l’intégrale étant prise depuis $y=0$ jusqu’à $y=1\,;$ la question consiste donc à vérifier que cette valeur de la fonction $T$ satisfait à l’équation (2), quelle que soit la variable $t.$

Or, je fais

${\frac {y}{1-y}}=u,\quad$ou $y={\frac {u}{1+u}},\quad$et $\operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} u}{(1+u)^{2}}}\,;$

et, pour abréger,

$(1+ut)^{x_{1}}.(1+ut^{2})^{x_{2}}.(1+ut^{3})^{x_{3}}\ldots (1+ut^{i})^{x_{i}}=U\,;$

l’équation précédente devient

$T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=(s+1)\int {\frac {U\operatorname {d} u}{(1+u)^{s+2}}}\,;$

et l’intégrale devra être prise depuis $u=$ 0 jusqu’à $u=\infty .$ En mettant successivement, dans cette équation précédente $x_{1}-1,\ x_{2}-1,\ x_{3}-1,$$\ldots x_{i}-1$ à la place de $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}$ et, en même temps, $s-1$ à la place de $s,$ on aura

$T_{x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}=s\int (1-y+yt)^{x_{1}-1}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y,$

$T_{x_{1},x_{2}-1,\ldots x_{i}}=s\int (1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}-1}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y,$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$T_{x_{1},x_{2},\ldots x_{i}-1}=s\int (1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}-1}\operatorname {d} y\,;$

mais, en différentiant $U$ par rapport à $u,$ on a