Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/192

${\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} u}}=\left\{{\begin{aligned}&tx_{1}(1+ut)^{x_{1}-1}.\left(1+ut^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1+ut^{i}\right)^{x_{i}}\\\\+&t^{2}x_{2}(1+ut)^{x_{1}}.\left(1+ut^{2}\right)^{x_{2}-1}\ldots \left(1+ut^{i}\right)^{x_{i}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&t^{i}x_{2}(1+ut)^{x_{1}}.\left(1+ut^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1+ut^{i}\right)^{x_{i}-1}\end{aligned}}\right\}\,;$

et, si l’on compare cette équation aux précédentes, on en conclut facilement

$s\int {\frac {\operatorname {d} U}{(1+u)^{s+1}}}=\left\{{\begin{aligned}&tx_{1}T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\\+&t^{2}x_{2}T_{x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&t^{i}x_{i}T_{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}-1}\end{aligned}}\right\}.$

Au moyen de ces résultats, l’équation (2) devient

$(s+1)\int {\frac {U\operatorname {d} u}{(1+u)^{s+2}}}-1=\int {\frac {\operatorname {d} U}{(1+u)^{s+1}}}\,;\qquad$(3)

mais, en intégrant par parties, il vient

$\int {\frac {\operatorname {d} U}{(1+u)^{s+1}}}={\frac {U}{(1+u)^{s+1}}}+(s+1)\int {\frac {U\operatorname {d} u}{(1+u)^{s+2}}}\,;$

à la limite $u=0,$ on a $U=1\,;$ à la limite $u=\infty ,$ on a