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les trois dimensions de l’espace, des formules analogues à celles que nous avons construites à la page 65 du présent volume, pour la résolution des problèmes d’optique plane. Nous montrerons ensuite, par un exemple, la manière d’en faire usage.

Le théorème fondamental consiste ici en ce que, à chaque surface trajectoire orthogonale des rayons incidens, il répond toujours une surface trajectoire orthogonale des rayons réfractés telle que, de quelque point de la surface séparatrice des deux milieux que l’on mène des normales à ces deux autres surfaces, les longueurs de ces normales seront respectivement entre elles dans le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction.

Soient donc $(t,u,v)$ un quelconque des points de la surface séparatrice, $(x',y',z')$ et $(x,y,z)$ les pieds des normales abaissées de ce point sur les deux surfaces trajectoires ; et supposons que le rapport du sinus d’incidence au sinus de réfraction soit celui de $\lambda '$ à $\lambda \,;$ on aura d’abord

${\frac {(t-x)^{2}+(u-y)^{2}+(v-z)^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {(t-x')^{2}+(u-y')^{2}+(v-z')^{2}}{\lambda '^{2}}}.\quad$(1)

De plus, parce que les droites menées du point $(t,u,v)$ aux deux autres sont respectivement normales aux surfaces auxquelles elles se terminent, en posant

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=p,\quad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=q,\quad {\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}=p',\quad {\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}=q',$

on aura aussi

$(t-x)+p(v-z)=0,\quad$(2)$\qquad (t-x')+p'(v-z')=0,\quad$(2′)

$(u-y)+q(v-z)=0,\quad$(3)$\qquad (u-y')+q'(v-z')=0.\quad$(3′)

Remarquons présentement qu’il n’y a proprement dans tout ceci que $t$ et $u$ de variables indépendantes, et qu’on a