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qui remplaceront les équations (2′, 3′, 7′) et ensuite, pour l’équation (6)}}

$t^{2}+u^{2}+v^{2}=r^{2},$

d’où nous tirerons

${\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=-{\frac {t}{v}},\qquad {\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} u}}=-{\frac {u}{v}}.$

En mettant ces valeurs dans les équations (1, 4, 5), elles deviendront

${\frac {(t-x)^{2}+(u-y)^{2}+(v-z)^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {(t-a)^{2}+(u-b)^{2}+(v-c)^{2}}{\lambda '^{2}}}.$

${\frac {tz-vx}{\lambda ^{2}}}={\frac {ct-av}{\lambda '^{2}}},\qquad {\frac {uz-vy}{\lambda ^{2}}}={\frac {cu-bv}{\lambda '^{2}}}.$

Les deux dernières, combinées avec l’équation de la sphère donneront

${\begin{aligned}&t={\frac {\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)r}{\sqrt {\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}z-\lambda ^{2}c\right)^{2}}}},\\\\&u={\frac {\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)r}{\sqrt {\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}z-\lambda ^{2}c\right)^{2}}}},\\\\&v={\frac {\left(\lambda '^{2}z-\lambda ^{2}c\right)r}{\sqrt {\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}z-\lambda ^{2}c\right)^{2}}}},\end{aligned}}$

d’où

$\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)t+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)u+\left(\lambda '^{2}z-\lambda ^{2}c\right)v$

$=r{\sqrt {\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}z-\lambda ^{2}c\right)^{2}}},$

mais l’autre équation donne, en chassant les dénominateurs et développant,