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$X\operatorname {Sin} .2mk\varpi +X'(1+\operatorname {Cos} .2mk\varpi )=0,$

ou encore

$2X\operatorname {Sin} .^{2}mk\varpi +2X'\operatorname {Sin} .mk\varpi \operatorname {Cos} .mk\varpi =0,$

$2X\operatorname {Sin} .mk\varpi \operatorname {Cos} .mk\varpi +2X'\operatorname {Cos} .^{2}mk\varpi =0\,;$

équations qui donnent également, en réduisant,

$X\operatorname {Sin} .mk\varpi +X'\operatorname {Cos} .mk\varpi =0.$

Cette relation très-simple permet d’éliminer, à volonté, de la valeur de $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$ l’une quelconque des deux fonctions $X$ et $X'.$ Si, par exemple, on en veut élimiuer la dernière, on aura

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X-X'{\sqrt {-1}}=X+X{\frac {\operatorname {Sin} .mk\varpi }{\operatorname {Cos} .mk\varpi }}{\sqrt {-1}},$

c’est-à-dire,

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X{\frac {\operatorname {Cos} .mk\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mk\varpi }{\operatorname {Cos} .mk\varpi }}=X{\frac {\left(\operatorname {Cos} .k\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k\varpi \right)^{m}}{\operatorname {Cos} .mk\varpi }}\,;$

et on trouve aussi, d’après cela,

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=-X'{\frac {\left(\operatorname {Cos} .k\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k\varpi \right)^{m}}{\operatorname {Sin} .mk\varpi }}.$

Ces deux formules, qu’on peut regarder comme fondamentales, s’accordent avec celles de M. Poinsot, et se prêtent à tous les développemens qu’il a donnés à l’article de l’examen de l’analise d’Euler (Recherches sur l’analise des sections angulaires, pag. 68).

Les géomètres qui se sont occupés de ce sujet dans les Annales^[1] se sont principalement attachés, pour la plupart, à produire

1. M. Pagani Michel, tom. XIII, pag. 94, M. Crelle, même volume, pag. 213, et M. Stein, tom. XV, pag. 150.