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$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X+X'{\sqrt {-1}},\quad$ou bien$\quad (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X-X'{\sqrt {-1}}\,;$

d’où il suit que le second membre de la première équation, en $y$ changeant $x$ en $x+2i\varpi ,$ devra être supposé identique avec le second membre de la seconde où on aurait changé $x$ en $x+2i'\varpi \,;$ $i$ et $i'$ étant deux nombres entiers, compris entre $0$ et $n,$ dénominateur de $m={\frac {p}{n}},$ et ces nombres entiers étant accouplés d’une manière convenable. On voit en effet que, par l’effet de cette substitution, les premiers membres Réprouvent aucun changement.

Mais alors

$X+X'{\sqrt {-1}},$ se change en $\left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi\varpi \right),$

$X-X'{\sqrt {-1}},$ se change en $\left(X-X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi'\varpi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi'\varpi \right),$

donc, par un choix convenable des nombres $i$ et $i',$ on doit avoir

$\left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi\varpi \right)=$

$\left(X-X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi'\varpi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi'\varpi \right)$

qui se réduit à

$\left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2m(i+i')\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2m(i+i')\varpi \right)=X-X'{\sqrt {-1}}\,;$

En désignant par $k$ soit la somme $i+i',$ si elle est moindre que $n,$ soit le reste de la division de cette somme par $n,$ si elle est plus grande ; il viendra

$\left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mk\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mk\varpi \right)=X-X'{\sqrt {-1}}\,;$

ou, en développant et égalant séparément entre elles les parties réelles et les parties imaginaires

$X(1-\operatorname {Cos} .2mk\varpi )+X'\operatorname {Sin} .2mk\varpi =0,$