si, par un point pris à volonté, sur le plan d’une ligne du second ordre, on lui mène une suite de sécantes, et que, par les points d’intersection de chacune d’elles avec la courbe, on mène à cette courbe deux tangentes, prolongées jusqu’à leur point de concours ; tous les points de concours des couples de tangentes appartiendront à une même droite, polaire du point d’où les sécantes seront issues. Réciproquement, si, des différens points d’une droite, menée arbitrairement, sur le plan d’une ligne du second ordre, on mène à cette courbe une suite de couples de tangentes ; leurs cordes de contact iront toutes concourir en un même point, pôle de la droite dont il s’agit. C’est de cette propriété particulière que les dénominations de pôle et de polaire tirent leur origine.
En second lieu, il peut arriver que la polaire ne coupe pas la courbe ou qu’elle la coupe en deux points. Dans ce dernier cas, il est aisé de voir que la droite tirée du pôle à l’un quelconque des points d’intersection de la polaire avec la courbe ne peut avoir avec cette courbe que ce seul point commun ; c’est-à-dire que, lorsque la polaire coupe la courbe, elle coïncide avec la corde de contact des deux tangentes issues du pôle ; proposition, qui découle d’ailleurs des précédentes. Au surplus le pôle est extérieur ou intérieur à la courbe, suivant que la polaire la coupe ou ne la rencontre pas.
Observons encore que, dans le cas particulier où le pôle serait pris sur la courbe elle-même, la polaire ne différerait pas de la tangente en ce point ; en sorte que, si l’on prend, sur une ligne (c) au second ordre, un point quelconque l’équation (p) sera celle de sa tangente en ce point.
Pour revenir aux propriétés générales du pôle et de là polaire, nous allons rechercher quelle est la relation entre les quatre points déterminés sur une droite menée arbitrairement par le pôle ; savoir : ce pôle lui-même, l’intersection de cette droite avec la polaire, et ses deux intersections avec la courbe. Mais, auparavant, nous devons donner ici quelques notions et définitions préliminaires.
