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$\mathrm {{\frac {AB-BC}{BC}}={\frac {AD}{AD-AB}}} \,;$

d’où, en chassant les dénominateurs, développant et transposant

$\mathrm {AB(AD-AB+BC)=2BC.AD}$

c’est-à-dire,

$\mathrm {AB.CD=2BC.AD} \,;$

et, comme on a $\mathrm {BC.AD=AC.BD,}$ on pourra écrire

$\mathrm {AB.CD=2AC.BD=2BC.AD} .$

De cette dernière équation on tire

$\mathrm {2AC.BD=CD(AC+BD)} ,$

ou bien

$\mathrm {AC(2BD-CD)=BC.CD}$

d’où

$\mathrm {{\frac {AC}{BC}}={\frac {CD}{2BD-CD}}} \,;$

mais, si $\mathrm {I}$ est le milieu de l’intervalle $\mathrm {CD,}$ on pourra écrire

$\mathrm {{\frac {AC}{BC}}={\frac {2CI}{2BD-2ID}}={\frac {CI}{BD-ID}}={\frac {CI}{BI}}} \,;$

et l’on aura aussi

donné ; le problème aura deux solutions, et alors les deux points donnés et les deux points qui résoudront le problème seront quatre points harmoniques.

J. D. G.