née l’arbitraire coupant et en et soit enfin menée coupant en si alors on mène son point d’intersection avec sera le quatrième harmonique cherché. On pourra donc aussi construire tout aussi facilement le quatrième harmonique de trois droites données.
Si, en particulier, deux des trois diagonales du quadrilatère complet sont parallèles entre elles, chacune d’elles sera divisée en deux parties égales par la troisième ; ce qui revient à dire que, dans un trapèze, la droite qui joint le point de concours des deux côtés non parallèles au point de concours des deux diagonales, passe par les milieux des deux côtés parallèles. On déduit de là 1.o le moyen de diviser une droite, avec la règle seulement, en deux parties égales, pourvu qu’on ait une seule droite parallèle à celle-là ; 2.o le moyen de mener par un point donné, avec la règle seulement, une parallèle à une droite donnée, pourvu qu’on ait sur cette droite trois points équidistans.
On peut encore remarquer que, dans un trapèze, le point de concours des deux diagonales, le point de concours des deux côtés non parallèles et les milieux des deux côtés parallèles sont quatre points harmoniquement distribués sur une même droite.
Il serait facile, en suivant une marche purement géométrique de déduire immédiatement de la théorie des pôles et polaires exposée ci-dessus (§. II.), toutes les définitions et propriétés connues du centre, des diamètres, des axe, et des asymptotes des lignes du second ordre ; mais il nous parait préférable de traiter ce sujet analitiquement. Retournons donc à la courbe (c), pour examiner les diverses positions que peuvent prendre, sur son plan, le pôle et la polaire (p).
Cherchons d’abord s’il est une position du pôle pour laquelle la polaire passe toute entière à l’infini. Il faudra, pour cela, que
