Il résulte de ces propriétés des quadrilatères inscrit et circonscrit à une même ligne du second ordre, sous la condition indiquée, que, si l’on donne quatre points de la courbe et la tangente en l’un d’eux, ou bien quatre tangentes à la courbe et le point de contact de l’une d’elles, on obtiendra de suite, par des constructions qui n’exigeront que le simple usage de la règle, soit les tangentes aux trois autres points, soit les points de contact des trois autres tangentes. Plus généralement, toutes les fois que l’on connaîtra, dans la figure, des élerneris en nombre suffisant pour déterminer les deux quadrilatères et la courbe à laquelle ils doivent être inscrit et circonscrit, on pourra toujours se servir de ces données pour achever de construire ces deux quadrilatères, sans que la courbe soit décrite.
Donc toutes les fois qu’on sera parvenu à la connaissance de deux tangentes et de leurs points de contact, et qu’on aura en outre un troisième point ou une troisième tangente quelconque de la courbe, on sera en état d’en construire, en n’employant que la règle seulement, tant d’autres points ou tant d’autres tangentes qu’on voudra.
Soit, en effet, 1.o l’angle des deux tangentes, soient et leurs points de contact ; et soit un troisième point quelconque de la courbe. Par le sommet de l’angle des deux tangentes, soit menée une droite arbitraire et indéfinie, coupée par en et par en menées et se coupant en ce point sera un quatrième point de la courbe ; et, à cause de l’indétermination de la direction de on pourra, en variant cette direction, déterminer tant d’autres points de cette courbe qu’on voudra. Menant alors les deux diagonales du quadrilatère inscrit, se coupant en la droite déterminera, sur les tangentes deux sommets opposés du quadrilatère circonscrit, tandis que la droite déterminera, sur ces deux mêmes droites, les deux autres sommets opposés de ce même quadrilatère. On aura donc ainsi quatre points de la courbe et les tangentes en ces quatre points ; et on pourra ainsi détermi-
