plus modernes. La méthode dont ils ont fait usage est semblable à celle que Bachet de Méziriac publia en France en 1624. On sait qu’elle consiste à réduire l’équation proposée à l’équation et à résoudre celle-ci, en cherchant le plus grand commun diviseur entre et
Lagrange a résolu l’équation dont il s’agit à l’aide des fractions continues, et M. Gauss l’a réduite à sa théorie des congruences ; mais toutes ces méthodes, qui dans le fond sont identiques entre elles, n’ont pas toute la généralité qu’on pourrait désirer. En effet, il est clair que les racines d’une équation à plusieurs inconnues, de même que celles d’une équation à une seule inconnue, doivent être fonctions de ses coefficiens exprimés généralement ; et cependant, même pour résoudre l’équation du premier degré à deux inconnues, qui est la plus simple de toutes, il faut connaître les coefficiens en nombres, ce qui montre combien les méthodes connues sont imparfaites.
La note que nous publions ici a pour objet de donner l’expression générale des racines entières d’une équation du premier degré à deux inconnues, en fonction de ses coefficiens. Elle est extraite d’un mémoire sur la théorie des nombres, présenté à l’Académie royale des sciences de Paris, et qui doit paraître dans le recueil des Savans étrangers. Notre méthode s’applique à toutes les équations indéterminées ; elle sert aussi à résoudre directement, et avec simplicité, les équations desquelles dépend la division du cercle, et à traiter beaucoup d’autres questions ; mais ces recherches ne sont pas de nature à trouver place ici, et nous les réservons pour une autre circonstance.
Étant donné l’équation à une seule inconnue
si l’on représente par les sommes des
