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(2)$\quad P_{n}=\sum _{u=0}^{u=m}\operatorname {Cos} .{\frac {2un\varpi }{m}}={\frac {\operatorname {Sin} .2\left(n-{\frac {n}{2m}}\right)\varpi +\operatorname {Sin} .{\frac {n\varpi }{m}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {n\varpi }{m}}}}.$^[1]

et la valeur de cette expression sera $m$ ou zéro, suivant que le nombre ${\frac {n}{m}}$ sera entier ou fractionnaire.

On sait qu’étant proposé de résoudre l’équation $ax+b=cy,$ en nombres entiers, il suffit de trouver une valeur a de $x,$ comprise entre zéro et $c,$ car les autres s’en déduisent en ajoutant à celle-là un multiple quelconque de $c\,;$ de sorte qu’on a, en général, $x=\alpha +cz,\ z$ étant un nombre entier quelconque.

Maintenant il faut observer que si, dans l’équation (2), on fait $n=ax+b,\ m=c,$ et que l’on donne à $x$ successivement toutes les valeurs $0,1,2,3,\ldots c-1,$ on obtiendra l’intégrale

$\sum _{x=0}^{x=c}\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}\right.$

$\left.+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(c-1)(ax+b)\varpi }{c}}\right\},$

qui aura pour valeur $c$ répété autant de fois que la quantité ${\frac {ax+b}{c}}$ a de valeurs entières, lorsqu’on y fait $x$ égal à un nombre entier moindre que $c\,;$ d’où il suit que la formule

(3) ${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}\right.$

$\left.+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(c-1)(ax+b)\varpi }{c}}\right\}\,;$

1. Voy. entre autres, l’Introduction à l’analise infinitésimale d’Euler, tom. I, chap. XIV, n.^o 260.
   J. D. G.