Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/309

exprimera le nombre des solutions de l’équation $ax+b=cy,$ en supposant qu’on ne prenne pour $x$ que des nombres entiers plus petits que $c.$

Si l’on considère le terme général de la série (3), on aura l’équation

${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2u}{c}}\left(b+ac-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi -\operatorname {Sin} .{\frac {2u}{c}}\left(b-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{2c\operatorname {Sin} .{\frac {2ua\varpi }{c}}}},$

dans le second membre de laquelle le numérateur est toujours zéro ; mais dont le dénominateur ne peut se réduire à zéro que lorsque $a$ et $c$ ont un diviseur commun, plus grand que l’unité, puisque $u$ est toujours plus petit que $c.$ Il résulte de là que, si $a$ et $c$ sont premiers entre eux, tous les termes de la série (3) s’évanouissent, excepté le premier, dont la valeur se réduit à

${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}={\frac {c}{c}}=1.$

Mais, si $a$ et $c$ ont un facteur commun $g,$ on supposera $a=mg,\ c=ng,$ et, en faisant $u=n,$ on obtiendra

${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .{\frac {2n(ax+b)\varpi }{c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2n}{c}}\left(b+ac-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi -\operatorname {Sin} .{\frac {2n}{c}}\left(b-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{2c\operatorname {Sin} .{\frac {2na\varpi }{c}}}}$

$={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2\left(b+ang-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{g}}-\operatorname {Sin} .{\frac {2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{g}}}{2ng\operatorname {Sin} .{\frac {a\varpi }{g}}}}.$

Cette expression se réduit ${\frac {0}{0}},$ en vertu de l’hypothèse $a=mg.$