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membre de l’équation (5) ne pourra jamais s’évanouir ; on obtiendra, par conséquent, en faisant les réductions nécessaires,

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {(c-1)\operatorname {Sin} .2u\left(b+ca-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Sin} .2u\left(b+{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2c.\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}\\\\&+{\frac {\operatorname {Cos} .2u(b+ca-a){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .2u(b+a){\frac {\varpi }{c}}}{c\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}\right\}={\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2.\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}$

et partant

${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{1+\operatorname {Cos} .2\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\operatorname {Cos} .4\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots \right.$

$\left.+\operatorname {Cos} .2u\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots +\operatorname {Cos} .2(c-1)\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi \right\}$

$={\frac {c-1}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {a\varpi }{c}}}}+{\frac {\operatorname {Sin} .4\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {2a\varpi }{c}}}}+\ldots$

$+{\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}+\ldots +{\frac {\operatorname {Sin} .2(c-1)\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {(c-1)a\varpi }{c}}}}$

$={\frac {c-1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=c}{\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}=\alpha .$

Cette formule très-simple donne pour $\alpha$ la plus petite valeur de $x$ qui satisfasse à l’équation $ax+b=cy,$ en nombres entiers ; et toutes les autres valeurs sont exprimées par l’équation $x=\alpha +cz,\ z$ étant un nombre entier quelconque.

Soit proposé, par exemple, de résoudre en nombres entiers, l’équation

$3x+1=4y\,;$

on aura, en comparant à l’équation générale $ax+b=cy$