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$R^{2}\left(1+q+q^{2}\right)\left(1+q-q^{2}\right)\left(1+q^{2}-q\right)\left(q^{2}+q-1\right)=q^{4}y^{4},$

d’où

$y={\frac {R}{q^{2}}}{\sqrt {\left(1+q+q^{2}\right)\left(1+q-q^{2}\right)\left(1+q^{2}-q\right)\left(q^{2}+q-1\right)}}\,;$

d’où l’on voit que le problème est toujours possible, et n’admet qu’une solution unique.

De la valeur de $y,$ on conclura celles de $x={\frac {y}{q}}$ et de $z=qy\,;$ et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

II. Triangle circonscrit.

Soit $r$ le rayon d’un cercle, auquel on propose de circonscrire un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue. Soient $x,y,z$ les trois côtés du triangle ; en désignant par $T,$ comme ci-dessus, l’aire de ce triangle, on aura

$16T^{2}=(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\,;$

mais, d’un autre côté on sait que

$2T=r(x+y+z)\quad$d’où$\quad 4T^{2}=r^{2}(x+y+z)^{2}$

donc, en substituant

$4r^{2}(x+y+z)=(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z).\qquad$(2)

Cela posé, 1.^o si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par $d$ la raison donnée de cette progression, on aura

$x=y-d,\qquad z=y+d\,;$

ce qui donnera, en substituant et réduisant