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$R^{2}(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)=x^{2}y^{2}z^{2}.\qquad$(1)

Cela posé, 1.^o si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par $d$ la raison donnée de cette progression, on aura

$x=y-d,\qquad z=y+d\,;$

ce qui donnera, en substituant et réduisant,

$3R^{2}\left(y^{2}-4d^{2}\right)=\left(y^{2}-d^{2}\right)\,;$

ou bien

$y^{4}-\left(2d^{2}+3R^{2}\right)y^{2}+d^{2}\left(d^{2}+12R^{2}\right)=0\,;$

d’où l’on voit que, si le problème est possible, il admettra deux solutions. On tire de là

$y={\sqrt {\frac {2d^{2}+3R^{2}\pm 3R{\sqrt {R^{2}-4d^{2}}}}{2}}}\,;$

de sorte que le problème ne sera possible qu’autant que la raison $d$ n’excédera pas la moitié du rayon du cercle donné.

Le côté $y$ étant déterminé par cette formule facile à construire, on en conclura $x=y-d$ et $z=y+d\,;$ et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

2.^o Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens, en désignant par $q$ la raison donnée de cette progression, on aura

$x={\frac {y}{q}},\qquad z=qy$

ce qui donnera, en substituant dans l’équation (1) et réduisant