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que nous démontrerons d’abord, et dont il nous suffira ensuite de traduire les énoncés dans l’algorithme reçu, relatif aux divers cas particuliers, pour en voir éclore, d’une manière tout-à-fait naturelle, les formules connues qui répondent à chacun d’eux.

2. Soit $\operatorname {f} x$ une fonction de ce de forme quelconque, de manière que $\operatorname {f} a,\operatorname {f} b,\operatorname {f} c,\ldots$ soient respectivement ce que devient cette fonction, lorsqu’on y fait, tour-à-tour, $x=a,\ x=b,\ x=c,\ldots .$ Soient posés successivement

${\frac {\operatorname {f} b-\operatorname {f} a}{b-a}}=\operatorname {f} _{1}(a,b),\ {\frac {\operatorname {f} c-\operatorname {f} a}{c-a}}=\operatorname {f} _{1}(a,c),\ {\frac {\operatorname {f} d-\operatorname {f} a}{d-a}}=\operatorname {f} _{1}(a,d),\ldots$

${\frac {\operatorname {f} _{1}(a,c)-\operatorname {f} _{1}(a,b)}{c-b}}=\operatorname {f} _{2}(a,b,c),\qquad {\frac {\operatorname {f} _{1}(a,d)-\operatorname {f} _{1}(a,b)}{d-b}}=\operatorname {f} _{2}(a,b,d),\ldots$

${\frac {\operatorname {f} _{2}(a,b,d)-\operatorname {f} _{2}(a,b,c)}{d-c}}=\operatorname {f} _{3}(a,b,c,d),\ldots$

 

Les fonctions $\operatorname {f} _{1},\operatorname {f} _{2},\operatorname {f} _{3},\ldots$ sont ce que nous appellerons à l’avenir les fonctions interpolaires des différens ordres des quantités $a,b,c,d,\ldots$

3. La première remarque que nous ferons au sujet de ces sortes de fonctions, c’est qu’elles sont toujours symétriques, de telle sorte qu’on y peut intervertir, comme on voudra, l’ordre des élémens $a,b,c,d,\ldots$ qui concourent à leur formation, sans qu’elles eu éprouvent aucun changement. En effet, on a, en premier lieu,

$\operatorname {f} _{1}(a,b)={\frac {\operatorname {f} b-\operatorname {f} a}{b-a}}={\frac {\operatorname {f} a}{a-b}}+{\frac {\operatorname {f} b}{b-a}},$