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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {\Delta y_{p}}{k}}={\frac {\operatorname {f} b-\operatorname {f} a}{b-a}}=\operatorname {f} _{1}(a,b),\ {\frac {\Delta ^{2}y_{p}}{k^{2}}}=2{\frac {\operatorname {f} _{1}(b,c)-\operatorname {f} _{1}(a,b)}{c-a}}$

$=2\operatorname {f} _{2}(a,b,c),\ {\frac {\Delta ^{3}y_{p}}{k^{3}}}=\ldots$

${\frac {\Delta y_{p+1}}{k}}={\frac {\operatorname {f} c-\operatorname {f} b}{c-b}}=\operatorname {f} _{1}(b,c),\ {\frac {\Delta ^{2}y_{p+1}}{k^{2}}}=2{\frac {\operatorname {f} _{1}(c,d)-\operatorname {f} _{1}(b,c)}{d-b}}$

$=2\operatorname {f} _{2}(b,c,d),\ldots$

${\frac {\Delta y_{p+3}}{k}}={\frac {\operatorname {f} d-\operatorname {f} c}{d-c}}=\operatorname {f} _{1}(c,d),\ldots \ldots \ldots \ldots$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’où, en substituant dans la formule (4),

$y_{p+n}=y_{p}+{\frac {x-a}{1}}.{\frac {\Delta y_{p}}{k}}+{\frac {x-a}{1}}.{\frac {x-b}{2}}.{\frac {\Delta ^{2}y_{p}}{k^{2}}}$

$+{\frac {x-a}{1}}.{\frac {x-b}{2}}.{\frac {x-c}{3}}.{\frac {\Delta ^{3}y_{p}}{k^{3}}}+\ldots$ (6)

Si nous posons $x-a=nk,$ nous aurons

${\begin{aligned}&x-b=(x-a)-(b-a)=nk-k=(n-1)k,\\&x-c=(x-a)-(c-a)=nk-2k=(n-2)k,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

de sorte qu’alors cette formule deviendra

$y_{p+n}=y_{p}+{\frac {n}{1}}.\Delta y_{p}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.\Delta ^{2}y_{p}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.\Delta ^{3}y_{p}+\ldots$ (7)

et, par suite, en supposant $p$ nul,

$y_{n}=y+{\frac {n}{1}}.\Delta y+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.\Delta ^{2}y+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.\Delta ^{3}y+\ldots$ (8)

ce sont les formules connues d’interpolation, pour le cas de l’équidifférence des valeurs de la variable indépendante.