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9. D’après ce qui a été démontré ci-dessus (5), on a

$\operatorname {f} _{n}(a,b,c,\ldots r,s)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {f} a}{(a-b)(a-c)\ldots (a-r)(a-s)}}\\\\+&{\frac {\operatorname {f} b}{(b-a)(b-c)\ldots (b-r)(b-s)}}\\\\+&{\frac {\operatorname {f} c}{(c-a)(c-b)\ldots (c-r)(c-s)}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {\operatorname {f} s}{(s-a)(s-b)\ldots (s-q)(s-r)}}\end{aligned}}\right\}$

supposant alors, comme ci-dessus,

$b-a=c-b=d-c=\ldots =s-r=k,$

et posant en outre

$y_{p}=\operatorname {f} a,\ y_{p+1}=\operatorname {f} b,\ y_{p+2}=\operatorname {f} c,\ldots y_{p+n-1}=\operatorname {f} r,\ y_{p+n}=\operatorname {f} s,$

on trouvera, en substituant et renversant l’ordre des termes du second membre,

$\operatorname {f} _{n}(a,a+k,a+2k,a+3k,\ldots a+nk)$

$={\frac {y_{p+n}}{n!k^{n}}}-{\frac {y_{p+n-1}}{(n-1)!1!k^{n}}}+{\frac {y_{p+n-2}}{(n-2)!2!k^{n}}}-{\frac {y_{p+n-3}}{(n-3)!3!k^{n}}}+$

$\ldots \pm {\frac {y_{p+1}}{1!(n-1)!k^{n}}}\mp {\frac {y_{p}}{n!k^{n}}}\,;$

mais si, dans la formule (5), on change $y$ en $y_{p},\ x$ en $a$ et qu’on y fasse, en outre, $\Delta a=k,$ elle donnera

$\operatorname {f} _{n}(a,a+k,a+2k,a+3k,\ldots a+nk)={\frac {\Delta ^{n}y_{p}}{n!k^{n}}}\,;$

donc, en égalant ces deux valeurs et multipliant par $n!,$