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vers lesquelles tendent les deux membres de cette équation, à mesure que $k$ tend vers zéro.

On aura, en conséquence,

${\frac {\operatorname {f} ''(x+k)-\operatorname {f} ''x}{k}}=2.{\frac {\operatorname {f} _{2}(x+k,x+k,x+k)-\operatorname {f} _{2}(x,x,x)}{k}}\,;$

mais, en vertu de la formule (11)

$\operatorname {f} _{2}(x+k,x+k,x+k)-\operatorname {f} _{2}(x,x,x)=k\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {f} _{3}(x,x+k,x+k,x+k)\\+&\operatorname {f} _{3}(x,x,x+k,x+k)\\+&\operatorname {f} _{3}(x,x,x,x+k)\end{aligned}}\right\}\,;$

donc

${\frac {\operatorname {f} ''(x+k)-\operatorname {f} ''x}{k}}=$

$2.\left\{\operatorname {f} _{3}(x,x+k,x+k,x+k)+\operatorname {f} _{3}(x,x,x+k,x+k)+\operatorname {f} _{3}(x,x,x,x+k)\right\}\,;$

donc aussi $\operatorname {f} '''x=1.2.3.\operatorname {f} _{3}(x,x,x,x)\,;$ car ce sont là les limites respectives vers lesquelles tendent les deux membres de cette équation à mesure que $k$ tend vers zéro.

Comme rien n’empêche de poursuivre ce raisonnement aussi loin qu’on voudra, il s’ensuit qu’on a

$\operatorname {f} _{1}(x,x)={\frac {\operatorname {f} 'x}{1}},\quad \operatorname {f} _{2}(x,x,x)={\frac {\operatorname {f} ''x}{1.2}},\quad \operatorname {f} _{3}(x,x,x,x)={\frac {\operatorname {f} '''x}{1.2.3}},\ldots$

et, en général,

$\operatorname {f} _{n}(x,x,x,\ldots x,x)={\frac {\operatorname {f} ^{(n)}x}{n!}}\,;$

valeurs qui, substituées dans la formule (12), donneront