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des définitions qui précèdent, on établit sans peine les diverses propriétés des centres des moyennes harmoniques.

Ainsi, par exemple, concevons que, les points $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots ,$

Si l’on suppose la droite d’une longueur $2a,$ et avant son milieu à l’origine, on obtiendra l’action totale exercée par cette droite, laquelle s’exercera uniquement dans le sens des $y,$ en faisant $x=a,$ et doublant le résultat, ce qui donnera

${\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}\left\{{\frac {ab}{a^{2}+b^{2}}}+\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a}{b}}\right)\right\}.$

Si ensuite on suppose $a=\infty ,$ le terme disparaîtra, tandis que le suivant se réduira à ${\frac {1}{2}}\varpi \,;$ de sorte que l’attraction exercée par la droite sera exprimée par ${\frac {\mathrm {A} \varpi }{2b^{2}}}\,;$ elle sera donc inversement proportionnelle au quarré de $b.$ Ainsi, l’attraction de tous les élémens d’une droite d’une longueur infinie sur un point situé hors de sa direction, étant inversement proportionnelle au cube de leur distance à ce point, l’action totale de cette droite sur ce même point se réduit à une action perpendiculaire, inversement proportionnelle au quarré de la distance de ce point à cette droite.

Cela posé, soit un plan uniformément matériel, et d’une étendue infinie, considéré comme plan des $xy,$ dont tous les points exercent sur un point de l’axe des $z$ une attraction inversement proportionnelle au cube de la distance. Considérons ce plan comme composé d’élémens rectilignes, d’une longueur infinie, parallèles à l’axe des $y$. L’action totale de chaque élément se réduira, parce qui précède, à une action dirigée suivant la droite qui joint le point attiré à l’intersection de cet élément avec l’axe des $x,$ et inversement, proportionnel au quarré de la longueur de cette droite. On se trouvera donc dans le même cas que si, le plan attirant étant remplacé par l’axe des $x,$ l’attraction était devenue inversement proportionnelle au quarré de la distance ; donc, par la précédente note, l’action totale du plan sur le point attiré se réduira à une action suivant l’axe des $z,$ et inversement proportionnelle à la simple distance de ce point à ce plan.

J. D. G.