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GÉOMÉTRIE DES SURFACES COURBES.

Théorèmes sur l’hyperboloïde à une nappe
et sur la surface conique du second ordre ;

Par M. L. F. Magnus.

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§. I.

Soit une hyperboloïde à une nappe rapportée à ses axes et donnée par l’équation

$b^{2}c^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}y^{2}-a^{2}b^{2}z^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}.\qquad$(1)

On sait que cette surface peut, tout aussi bien que le cône, être engendré par le mouvement d’une droite. Prenant donc pour les équations d’une génératrice quelconque

$x=mz+g,\qquad y=nz+-h\,;\qquad$(K)

nous exprimerons que cette génératrice est sur l’hyperboloïde en exprimant que l’équation en $z$ résultant de la substitution des valeurs (K) de $x$ et $y$ dans (1), laissent cette coordonnée indéterminée. Or, cette équation est

$b^{2}c^{2}(mz+g)^{2}+a^{2}c^{2}(nz+-h)^{2}-a^{2}b^{2}z^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}=0,$

ou bien

$\left(b^{2}c^{2}m^{2}+a^{2}c^{2}n^{2}-a^{2}b^{2}\right)z^{2}+2c^{2}\left(b^{2}mg+a^{2}nh\right)z$

$+c^{2}\left(b^{2}g^{2}+a^{2}h^{2}-a^{2}b^{2}\right)=0\,;$

de sorte qu’on doit avoir, à la fois,