![{\displaystyle \left.{\begin{array}{cl}b^{2}c^{2}m^{2}+a^{2}c^{2}n^{2}&=a^{2}b^{2},\\b^{2}mg+a^{2}nh&=0,\\b^{2}g^{2}+a^{2}h^{2}&=a^{2}b^{2}.\end{array}}\right\}\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13044ea37af32e6f3b8e6475c3348e997e2a6bb)
Si l’hyperboloïde n’est pas de révolution, ses deux demi-axes transverses
et
sont inégaux. Soit
le plus grand des deux ; et considérons, dans le plan des
les deux droites données par l’équation
combinée avec la double équation
![{\displaystyle x{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\mp z{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=0\,;\qquad \left({\begin{aligned}&\mathrm {F} \\&\mathrm {F} '\end{aligned}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b9ab2ce583839166b3dfc7fba7ba1d340f66e2)
droites que nous nommerons lignes focales, à raison des propriétés que nous allons démontrer leur appartenir, et qui se confondraient toutes deux avec l’axe des
si l’hyperboloïde était de révolution. Si nous désignons par
et
les angles que fait la génératrice (K) avec les deux droites (F, F′), et par
les supplémens de ces angles, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}\operatorname {Cos} .p&=-\operatorname {Cos} .q&=\pm {\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}+m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\left(a^{2}+c^{2}\right)}}},\\\\\operatorname {Cos} .p'&=-\operatorname {Cos} .q'&=\pm {\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}-m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\left(a^{2}+c^{2}\right)}}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7672fc27bd26bfa598fc717320b05310a879b7c2)
En chassant
de ces formules, au moyen de la première des équations (2) elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}\operatorname {Cos} .p&=-\operatorname {Cos} .q&=\pm ac.{\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}+m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(a^{2}+c^{2}\right)\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)+m^{2}c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]}}},\\\\\operatorname {Cos} .p'&=-\operatorname {Cos} .q'&=\pm ac.{\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}-m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(a^{2}+c^{2}\right)\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)+m^{2}c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]}}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79efc18b9d54fca5f59de3219db7de5470ea940d)
De là on conclura