![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}{{\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}-x}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1.\qquad (11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7508137ebba5db5876b24e59b272d66661b85d49)
Or, le premier membre de cette équation est le rapport entre la distance de l’un quelconque des points de la courbe à l’un des foyers et la distance du même point à une perpendiculaire à l’axe des
menée à la distance
de l’origine ; donc, les distances des divers points de l’ellipse à un point fixe et à une droite fixe sont dans un rapport constant. On voit que le point fixe dont il s’agit ici est l’un des foyers. Quant à la droite fixe, on s’assurera aisément qu’elle en est la polaire.
Si, dans l’équation (7), ainsi que dans les diverses transformées que nous en avons successivement déduites, on change
en
on obtiendra les transformées analogues relatives à l’hyperbole donnée par l’équation (8) ; et l’on sera conduit aux deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(x+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left\{{\frac {a^{2}+x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}}\right\}^{2},\\\\&\left(x-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left\{{\frac {a^{2}-x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}}\right\}^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3874dd469b8fd31e46ab00d4e863f01510f877)
mais ici, où
est toujours plus grand que
il faudra, dans l’extraction des racines, écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\sqrt {\left(x+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {a^{2}+x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}},\\\\&-{\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {a^{2}-x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}}\,;\qquad (\mathrm {12} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfeab791195a5187b8a721777332c77b6f63c4e)
d’où, en ajoutant et réduisant