Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/377

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}{{\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}-x}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1.\qquad (11)$

Or, le premier membre de cette équation est le rapport entre la distance de l’un quelconque des points de la courbe à l’un des foyers et la distance du même point à une perpendiculaire à l’axe des $x,$ menée à la distance ${\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ de l’origine ; donc, les distances des divers points de l’ellipse à un point fixe et à une droite fixe sont dans un rapport constant. On voit que le point fixe dont il s’agit ici est l’un des foyers. Quant à la droite fixe, on s’assurera aisément qu’elle en est la polaire.

Si, dans l’équation (7), ainsi que dans les diverses transformées que nous en avons successivement déduites, on change $+b^{2}$ en $-b^{2},$ on obtiendra les transformées analogues relatives à l’hyperbole donnée par l’équation (8) ; et l’on sera conduit aux deux équations

${\begin{aligned}&\left(x+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left\{{\frac {a^{2}+x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}}\right\}^{2},\\\\&\left(x-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left\{{\frac {a^{2}-x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}}\right\}^{2}\,;\end{aligned}}$

mais ici, où $x$ est toujours plus grand que $a,$ il faudra, dans l’extraction des racines, écrire

${\begin{aligned}&+{\sqrt {\left(x+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {a^{2}+x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}},\\\\&-{\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {a^{2}-x{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{a}}\,;\qquad (\mathrm {12} )\end{aligned}}$

d’où, en ajoutant et réduisant