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${\sqrt {\left(x+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}=2a.$

Or, les radicaux du premier membre expriment les distances de l’un quelconque des points de la courbé à deux points de l’axe des $x$ pris à des distances ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ de part et d’autre de l’origine ; donc la différence des distances des divers points de l’hyperbole à deux points fixes pris sur son plan, est une quantité constante. Ces points sont ce qu’on appelle les foyers de la courbe.

En traitant l’équation (12) comme nous avons traité l’équation (10), on parviendra à lui donner cette forme

${\frac {\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}{x-{\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}>1\,;\qquad$(13)

ce qui, pour les mêmes raisons que ci-dessus, montre que les distances de divers points de l’hyperbole à un point fixe et à une droite fixe sont dans un rapport constant. On voit qu’ici encore le point fixe dont il s’agit est l’un des foyers, tandis que la droite fixe en est la polaire.

L’équation (9) de la parabole peut être écrite ainsi :

$y^{2}=(x+c)^{2}-(x-c)^{2}\,;$

d’où, en transposant et extrayant la racine quarrée des deux membres,

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=x+c$

ou bien

${\frac {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}{x+c}}=1\,;\qquad$(14)

c’est-à-dire que les distances des divers points de la parabole à