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présentons par $2a$ et $2b$ les longueurs de ces deux diamètres, l’équation de la courbe sera conséquemment

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}.$

Soit $(x',y')$ le point de contact de l’ellipse avec un des côtés de rectangle, de manière qu’on ait

$b^{2}x'^{2}+a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2}\,;\qquad$(1)

ce côté déterminera, sur les axes des coordonnées, des segmens égaux entre eux et à la moitié de la diagonale du rectangle ; et, en représentant par $r$ la longueur de cette demi-diagonale, on aura, par les principes connus sur les sous-tangentes,

$r={\frac {a^{2}}{x'}}={\frac {b^{2}}{y'}},$

d’où

$x'={\frac {a^{2}}{r'}},\qquad y'={\frac {b^{2}}{r'}},$

En portant ces valeurs dans l’équation (1). et réduisant, on en tirera

$a^{2}+b^{2}=r^{2}\,;$

or, le premier membre de cette dernière équation est constant, quel que soit le rectangle circonscrit ; donc le second l’est aussi ; donc tous les rectangles circonscrits à une même ellipse ont leurs diagonales de même longueur ; donc ils ont tous leurs sommets sur une même circonférence qui a son centre au centre même de l’ellipse.

THÉORÈME II. l’ellipse est toujours partagée en quatre portions