Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/39

${\begin{array}{rll}\operatorname {Sin} .p&=\operatorname {Sin} .q&={\frac {a^{2}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}-mc^{2}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(a^{2}+c^{2}\right)\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)+m^{2}c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]}}},\\\\\operatorname {Sin} .p'&=\operatorname {Sin} .q'&={\frac {a^{2}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}+mc^{2}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(a^{2}+c^{2}\right)\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)+m^{2}c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]}}}\,;\end{array}}$

et par suite

${\begin{array}{rll}\operatorname {Cos} .(p+p')&=\operatorname {Cos} .(q+q')&=+{\frac {c^{2}-a^{2}}{c^{2}+a^{2}}},\\\\\operatorname {Cos} .(q-p')&=\operatorname {Cos} .(p-q')&=-{\frac {c^{2}-a^{2}}{c^{2}+a^{2}}}\,;\end{array}}$

quantité constante, puisque $m$ n’y entre plus. En outre, la tangente de l’angle des asymptotes de la section de l’hyperboloïde qui contient les lignes focales étant $\pm {\frac {2ca}{c^{2}-a^{2}}},$ son cosinus sera $\pm {\frac {c^{2}-a^{2}}{c^{2}+a^{2}}}\,;$ de sorte qu’on a ce théorème :

La somme ou la différence des deux angles que fait la droite génératrice de l’hyperboloïde à une nappe dans toutes ses positions, avec les deux lignes focales de cette surface est constante, et égale à l’angle des asymptotes de la section faite dans l’hyperboloïde par le plan qui contient ces lignes focales.

Si, au lieu de considérer l’hyperboloïde, nous eussions considéré la surface conique du second ordre donnée par l’équation.

$b^{2}c^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}y^{2}-a^{2}b^{2}z^{2}=0,$

dont les lignes focales auraient toujours été déterminées par la double équation

$x{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\pm z{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=0,$

le calcul aurait été exactement le même ; de sorte qu’on a aussi le théorème suivant :