duit soit nul ou négatif, cette équation aura nécessairement deux racines imaginaires, au moins ; et, si une pareille relation a lieu pour plusieurs séries de quatre termes consécutifs, l’équation aura autant de couples de racines imaginaires, au moins qu’elle offrira de pareilles séries.
Démonstration. Il est connu qu’une équation ne saurait avoir plus de racines positives que de variations de signes, ni plus de racines négatives que de permanences de signes.
Il suit de là que si, dans une équation, il manque au terme entre deux termes de même signe, cette équation aura deux racines imaginaires, au moins. Soient, en effet, le nombre de ses variations et le nombre de ses permanences, de part et d’autre du terme qui manque, étant le degré de l’équation ; on devra avoir En rétablissant le terme qui manque, avec le coefficient zéro affecté du même signe que portent les deux termes qui le comprennent, ce qui est permis, l’équation n’ayant dès lors que variations, on sera en droit d’en conclure qu’elle n’a pas plus de racines réelles positives. Si, au contraire, on rétablit ce même terme, en donnant à son coefficient zéro un signe contraire au signe commun des deux termes qui le comprennent, ce qui est également permis, l’équation n’ayant toujours que permanences, on sera en droit d’en conclure qu’elle n’a pas plus de racines réelles négatives. Une telle équation n’a donc au plus que ou racines réelles ; elle a donc deux racines imaginaires, au moins.
Le même raisonnement prouve qu’autant de fois il manquera un terme entre deux autres de même signe, autant l’équation aura de couples de racines imaginaires, au moins.
Il suit de là qu’une équation dans laquelle il manque deux termes consécutifs a au moins deux racines imaginaires ; car alors on peut toujours rétablir le terme qui manque de manière à faire manquer l’autre entre deux termes de mêmes signes. On voit même qu’autant de fois il manquera deux termes consécutifs, entre deux
