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2.^o  Si, au contraire, $p$ est un nombre pair, les derniers cosinus seront égaux à l’unité et auront pour coefficient commun

${\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}\ldots {\frac {p-{\frac {p-2}{2}}}{\frac {p}{2}}}\,;$

ou, en changeant $p$ en $2n$

${\frac {2n}{1}}.{\frac {2n-1}{2}}.{\frac {2n-2}{3}}\ldots {\frac {n+1}{n}}\,;$

il faudra donc prendre $m$ fois la moitié de l’un de ces coefficiens et multiplier le résultat par ${\frac {1}{2^{p-1}}}$ ou ${\frac {1}{2^{2n-1}}}\,;$ ce qui reviendra à multiplier de suite ce coefficient par ${\frac {m}{2^{2n}}}\,;$ on aura donc

$\left(2\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{m}}\right)^{2n}+\left(2\operatorname {Cos} .{\frac {4\varpi }{m}}\right)^{2n}+\left(2\operatorname {Cos} .{\frac {6\varpi }{m}}\right)^{2n}+\ldots +\left(2\operatorname {Cos} .{\frac {2m\varpi }{m}}\right)^{2n}$

$=m.{\frac {2n}{1}}.{\frac {2n-1}{2}}\ldots {\frac {n+1}{n}}\,;$ (5)

c’est-à-dire,

Si, ayant divisé une circonférence en un nombre quelconque de parties égales, on abaisse de tous les points de division des perpendiculaires sur un diamètre mené par l’un d’eux ; la somme des puissances paires d’un même degré quelconque des doubles des distances du centre aux pieds de ces perpendiculaires sera égale à la même puissance du rayon, prise autant de fois que la circonférence aura de points de division et multipliée ensuite par autant d’unités qu’on peut faire de produits différens de moitié moins de facteurs qu’il y a d’unités dans l’exposant de la puissance, avec autant de facteurs que cet exposant a d’unités.

On sait aussi que, quel que soit $x$, on a