Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/48

$\left(\operatorname {Sin} .x\right)^{4n}=+{\frac {1}{2^{4n-1}}}\times$

$\left\{\operatorname {Cos} .4nx-{\frac {4n}{1}}\operatorname {Cos} .(4n-2)x+{\frac {4n}{1}}.{\frac {4n-1}{2}}.\operatorname {Cos} .(4n-4)x-\ldots \right\},$

$\left(\operatorname {Sin} .x\right)^{4n+1}=+{\frac {1}{2^{4n}}}\times$

$\left\{\operatorname {Sin} .(4n+1)x-{\frac {4n+1}{1}}\operatorname {Sin} .(4n-1)x+{\frac {4n+1}{1}}.{\frac {4n}{2}}.\operatorname {Sin} .(4n-3)x-\ldots \right\},$

$\left(\operatorname {Sin} .x\right)^{4n+2}=-{\frac {1}{2^{4n+1}}}\times$

$\left\{\operatorname {Cos} .(4n+2)x-{\frac {4n+2}{1}}\operatorname {Cos} .4nx+{\frac {4n+2}{1}}.{\frac {4n+1}{2}}.\operatorname {Cos} .(4n-2)x-\ldots \right\},$

$\left(\operatorname {Sin} .x\right)^{4n+3}=-{\frac {1}{2^{4n+2}}}\times$

$\left\{\operatorname {Sin} .(4n+3)x-{\frac {4n+3}{1}}\operatorname {Sin} .(4n+1)x+{\frac {4n+3}{1}}.{\frac {4n+2}{2}}.\operatorname {Sin} .(4n-1)x-\ldots \right\}\,;$

pourvu qu’encore ici on arrête le développement dès qu’on aura plus d’arcs positifs, et que, dans les première et troisième formules, on ne prenne que la moitié du terme qui contient le cosinus de l’arc nul.

Si, dans chacune de ces formules, on substitue successivement pour $x,$ comme ci-dessus, les arcs

${\frac {2\varpi }{m}},\quad {\frac {4\varpi }{m}},\quad {\frac {6\varpi }{m}},\ldots {\frac {2m\varpi }{m}},$

et qu’en ayant égard aux formules (3) on prenne la somme des équations résultantes, on s’assurera que

$\left(\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}}\right)^{2n+1}+\left(\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi }{m}}\right)^{2n+1}+\left(\operatorname {Sin} .{\frac {6\varpi }{m}}\right)^{2n+1}+\ldots$

$+\left(\operatorname {Sin} .{\frac {2m\varpi }{m}}\right)^{2n+1}=0.\quad$(6)

et que

$\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}}\right)^{2n}+\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi }{m}}\right)^{2n}+\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {6\varpi }{m}}\right)^{2n}+\ldots$

$+\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {2m\varpi }{m}}\right)^{2n}=m.{\frac {2n}{1}}.{\frac {2n-1}{2}}\ldots {\frac {n+1}{n}}.$ (7)

ce qui revient à dire que les deux théorèmes démontrés ci-dessus subsistent encore, en substituant aux distances du centre aux pieds des perpendiculaires les longueurs même de ces perpendiculaires. La chose était manifeste pour le cas où $m$ est multiple de quatre,