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de (1) donnera un résultat positif ; et, comme la valeur $0$ donne le résultat négatif $-q,$ il s’ensuit qu’il y aura entre $0$ et la valeur dont il s’agit une racine réelle de l’équation (1).

En développant, transposant et réduisant, l’équation (2) devient

$(p-2a)x=a^{2}+q,$

d’où

$x={\frac {a^{2}+q}{p-2a}}\,;$

de sorte que, quelque valeur positive ou négative qu’on donne à l’indéterminée $a,$ une des racines de l’équation (1) sera toujours comprise entre $0$ et la valeur qui en résultera pour $x.$

Soit, en second lieu, l’équation du quatrième degré

$x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx-s=0.\qquad$(1)

Posons

$x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx-s=\left(x^{2}+ax+b\right)^{2}+P(x+c)^{2},\qquad$(2)

$a,b,c,P$ étant des indéterminées. Il est clair que, quels que soient les signes de $a,b,c,$ pourvu qu’on prenne $P$ positif, toute valeur de $x$ tirée de l’équation (2) et substituée dans le premier membre de (1) donnera un résultat positif ; et comme, d’un autre côté, la substitution de $0$ dans ce même premier membre donne le résultat négatif $-s,$ il s’ensuit que l’équation (1) aura au moins une racine réelle entre $0$ et cette valeur de $x.$

En développant, transposant, réduisant et ordonnant, l’équation (2) devient