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$x=P-{\sqrt[{5}]{P^{5}-5b^{2}P-c^{2}Q+s}}.$

En donnant donc tour à tour à $P$ et $Q,$ dans cette formule d’abord des valeurs positives quelconques, puis des valeurs négatives également quelconques, les valeurs qui en résulteront pour $x$, comprendront entre elles une racine, au moins de l’équation proposée.

On voit, par ce qui précède que, dans le 7.^me degré il faudrait poser

$x^{7}+px^{5}+qx^{4}+rx^{3}+sx^{2}+tx+u$

$=7P\left(x^{3}+ax^{2}+bx+c\right)^{2}+Q\left(x^{2}+dx+e\right)^{2}+R(x+f)^{2},$

et supposer que les indéterminées $P,Q,R$ sont toutes trois positives ou toutes trois négatives. On poserait des équations analogues pour les degrés supérieurs.

§. II.

Équations de degrés pairs.

En supposant constamment le dernier terme négatif, soit d’abord l’équation du second degré

$x^{2}+px-q=0.\qquad$(1)

Posons

$x^{2}+px-q=(x+a)^{2},\qquad$(2)

$a$ étant une indéterminée. Il est clair que toute valeur de $x$ tirée de cette dernière équation et substituée dans le premier membre