tirant de ces deux équations les valeurs de et de pour les substituer dans l’équation on obtiendra, pour l’équation de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés, en divisant par
de sorte que cette courbe est une ligne du second ordre.
En développant et ordonnant cette équation par rapport aux puissances et produits de puissances de et elle prend cette forme
Ajoutant et retranchant tour à tour à chaque membre
le second membre deviendra un quarré, dans les deux cas ; de sorte qu’en extrayant les racines, on trouvera
Dans ces équations, qui ne sont que deux formes particulières de l’équation de la trajectoire cherchée, et dont toute combinaison appartiendra conséquemment à cette trajectoire, les signes supérieurs et inférieurs ne se correspondent pas nécessairement et doivent être choisis suivant les rapports entre les données. En prenant leur somme, il vient, en divisant par
Or, le premier radical exprime la distance de l’un quelconque des