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tirant de ces deux équations les valeurs de $(t-x)^{2}+(u-y)^{2}$ et de $t^{2}+u^{2},$ pour les substituer dans l’équation $(\alpha ),$ on obtiendra, pour l’équation de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés, en divisant par $\lambda ^{2}-\lambda '^{2}$

$\lambda '^{4}(ay-bx)^{2}=(\lambda ^{2}-\lambda '^{2})c^{2}\left\{\lambda ^{2}c^{2}-\lambda '^{2}\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right]\right\}\,;$

de sorte que cette courbe est une ligne du second ordre.

En développant et ordonnant cette équation par rapport aux puissances et produits de puissances de $\lambda$ et $\lambda ',$ elle prend cette forme

$\lambda ^{2}\lambda '^{2}c^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\left(ax+by-c^{2}\right)\right\}=\lambda ^{4}c^{4}+\lambda '^{4}\left(ax+by-c^{2}\right)^{2}.$

Ajoutant et retranchant tour à tour à chaque membre

$2\lambda ^{2}\lambda '^{2}c^{2}\left(ax+by-c^{2}\right),$

le second membre deviendra un quarré, dans les deux cas ; de sorte qu’en extrayant les racines, on trouvera

$\pm \lambda \lambda 'c{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\lambda ^{2}c^{2}+\lambda '^{2}\left(ax+by-c^{2}\right),$

$\pm \lambda \lambda 'c{\sqrt {(x-2a)^{2}+(y-2b)^{2}}}=\lambda ^{2}c^{2}-\lambda '^{2}\left(ax+by-c^{2}\right).$

Dans ces équations, qui ne sont que deux formes particulières de l’équation de la trajectoire cherchée, et dont toute combinaison appartiendra conséquemment à cette trajectoire, les signes supérieurs et inférieurs ne se correspondent pas nécessairement et doivent être choisis suivant les rapports entre les données. En prenant leur somme, il vient, en divisant par $\lambda \lambda 'c,$

$\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\pm {\sqrt {(x-2a)^{2}+(y-2b)^{2}}}=2{\frac {\lambda }{\lambda '}}c.$

Or, le premier radical exprime la distance de l’un quelconque des