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${\frac {b(t-x)-a(u-y)}{\lambda ^{2}}}={\frac {bt-au}{\lambda '^{2}}},$

ou bien

$bt-au={\frac {\lambda '^{2}(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}}.$

Éliminant tour à tour $u$ et $t$ entre cette équation et l’équation

$at+bu=c^{2},$

il viendra, en ayant égard à la relation $a^{2}+b^{2}=c^{2},$

${\begin{aligned}&c^{2}t=ac^{2}+{\frac {\lambda '^{2}b(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}},\\\\&c^{2}u=bc^{2}-{\frac {\lambda '^{2}a(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}}\,;\end{aligned}}$

et de là encore

${\begin{aligned}&c^{2}(t-x)=c^{2}(a-x)+{\frac {\lambda '^{2}b(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}},\\\\&c^{2}(u-y)=c^{2}(b-y)-{\frac {\lambda '^{2}a(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}}.\end{aligned}}$

En prenant tour à tour la somme des quarrés de ces deux dernières équations et la somme des quarrés des deux qui les précèdent, on trouvera successivement, en ayant toujours égard à la relation entre $a,b$ et $c,$

$c^{2}\left\{(t-x)^{2}+(u-y)^{2}\right\}=c^{2}\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right\}+{\frac {\lambda '^{2}\left(2\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)(ay-bx)^{2}}{\left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)^{2}}},$

$c^{2}\left(t^{2}+u^{2}\right)=c^{4}+{\frac {\lambda '^{4}(ay-bx)^{2}}{\left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)^{2}}}\,;$