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En ajoutant au quarré de la première le quadruple du quarré de la seconde, le terme en $tu$ disparaîtra, et en remplaçant $t^{2}+u^{2}$ par sa valeur $r^{2}$ on obtiendra, pour l’équation de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés,

$4r^{2}\left\{\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}\right\}=$

$\left\{\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right)\right\}^{2}.$

En développant et rassemblant les termes affectés des même s puissances et produits des puissances de $\lambda$ et $\lambda '$ cette équation prendra la forme

$2\lambda ^{2}\lambda '^{2}\left\{\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-4r^{2}(ax+by)\right\}$

$=\lambda '^{4}\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}+\lambda ^{4}\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right)^{2}.$

Ajoutant et retranchant tour à tour à chacun des deux membres de cette dernière la quantité

$2\lambda ^{2}\lambda '^{2}\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right),$

son second membre deviendra un quarré dans les deux cas, et il viendra, par l’extraction des racines quarrées de deux membres

$\pm 2\lambda \lambda '{\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2r^{2}(ax+by)+r^{4}}}=$

$\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)+\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right),$

Équations dans lesquelles les signes supérieurs et les signes inférieurs ne se correspondent pas nécessairement ; et où les uns et les autres doivent être pris, suivant les grandeurs et les signes des données $a,b,r,\lambda$ et $\lambda '.$

En retranchant la seconde de la première, on trouve