Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/83

$\pm \lambda '{\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2r^{2}(ax+by)+r^{4}}}\pm \lambda 'r{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}$

$=\lambda \left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right)\,;$

ou encore

$\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.{\sqrt {\left\{x-{\frac {ar^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {br^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right\}^{2}}}\pm r{\sqrt {(x-a)^{2}+y-b)^{2}}}$

$={\frac {\lambda }{\lambda '}}\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right)\,;$

or, si l’on prend pour foyers le point rayonnant et son conjugué, par rapport au cercle, les deux radicaux du premier membre de cette équation exprimeront les rayons vecteurs d’un même point quelconque de la courbe, de sorte qu’on a le théorème suivant :

THÉORÈME IV. Lorsque des rayons de lumière, émanés d’un même point de l’espace, extérieur ou intérieur à une sphère transparente homogène, sont réfractés ou réfléchis à l’entrée ou à la sortie de cette sphère ; ils deviennent alors normaux à une surface de révolution du quatrième ordre, ayant pour axe la droite qui contient le point rayonnant et le centre de la sphère. La propriété caractéristique de cette surface est que la somme ou la différence des produits respectifs des distances de ses différens points au point rayonnant et à son conjugué par rapport à la sphère, par des multiplicateurs constans, est elle-même une quantité constante.

Cet élégant théorème est dû à M. Sturm, qui l’a démontré dans un article inséré à la page 205 du précédent volume du présent recueil.

Nous nous proposions de nous livrer à beaucoup d’autres recherches encore ; mais l’abondance des matériaux que nous avons à publier nous oblige à leur céder la place, et à renvoyer ces