l’équation d’une courbe plane quelconque, rapportée à des axes rectangulaires. Soient en outre
deux points déterminés quelconques de cette courbe ; de telle sorte au’on ait
![{\displaystyle \beta =\varphi (\alpha ),\qquad \beta '=\varphi (\alpha ')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d9311f94e5e0889acb9f440a3065a006438c20)
l’équation de la corde qui joindra ces deux points sera
![{\displaystyle (\alpha '-\alpha )(y-\beta )-(\beta '-\beta )(x-\alpha )=\gamma =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c668507f51e416e27b28150654a8948ddf660a)
En supposant qu’il existe, entre
et
une relation donnée par l’équation
![{\displaystyle U=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b0018b01bf10819f22fa9bcae90c444ef3f933)
l’équation de l’enveloppe de toutes les cordes
sera le résultat de l’élimination des cinq quantités
entre les six équations
![{\displaystyle \beta =\varphi (\alpha ),\qquad \beta '=\varphi (\alpha '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e51a935ad20ec53a964ebe31a52ef003864d845)
![{\displaystyle (\alpha '-\alpha )(y-\beta )-(\beta '-\beta )(x-\alpha )=\gamma =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2cb080af38c94becf1ef612ccde806d0cf1c20)
![{\displaystyle \left[(y-\beta )-(x-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right]{\frac {\operatorname {d} \alpha '}{\operatorname {d} \alpha }}-\left[(y-\beta ')-(x-\alpha '){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right]={\frac {\operatorname {d} \gamma '}{\operatorname {d} \alpha }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bf9d77d3ef58de2bb53373855b10039b064787)
![{\displaystyle U=0,\qquad \left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha '}}\right){\frac {\operatorname {d} \alpha '}{\operatorname {d} \alpha }}+\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha }}\right)={\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d1967d97cbe2ec8cd077068993fa7d70158858)
Mais, si l’on ne veut trouver que le point de contact de l’une des cordes contenues dans
avec l’enveloppe, il suffira d’éliminer
entre les deux équations