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§. III.

Supposons, en second lieu, que les arcs de la courbe

$y=\varphi (x)$

sous-tendus par la corde mobile $\gamma =0$ doivent être tous d’une même longueur donnée $c\,;$ et posons

$\int _{\alpha '}^{0}\operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=A'\,;\qquad \int _{\alpha }^{0}\operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=A\,;$

nous aurons

$A'-A-c=U=0\,;$

d’où

$\mathrm {{\overline {OM}}^{2}+\mu .OM={\overline {ON}}^{2}+\nu .ON} \,;$

mais il est clair que $\mu$ et $\nu$ doivent s’évanouir en même temps ; donc, on doit simplement avoir

$\mathrm {{\overline {OM}}^{2}={\overline {ON}}^{2}} \quad$d’où$\quad \mathrm {OM=ON} .$

On voit même qu’il est nullement nécessaire pour cela que la courbe posée soit assujettie à la loi de continuité.

Ce théorème se lie d’ailleurs fort bien avec le suivant, démontré par M. Dupin, pour une surface continue ou discontinue, dans ses Applications de géométrie, (pag. 32).

L’enveloppe des plans cordes qui détachent des segmens équivalens d’une surface courbe quelconque, touche chacun de ces plans cordes au centre de gravité de son aire.

J. D. G.