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$\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)^{2}}},\qquad \left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha }}\right)=-{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2}}}\,;$

en conséquence, l’équation $V$ sera ici

$y={\frac {{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2}}}}{{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)^{2}}}-{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2}}}}}$

$x-{\frac {\left(\beta -\alpha {\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right){\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2}}}-\left(\beta '-\alpha '{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right){\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)^{2}}}}{{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)^{2}}}-{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2}}}}}$

or, comme cette droite doit passer par le point $(s)$ de concours des deux droites $(l',l),$ il s’ensuit qu’en désignant par $a$ et $b$ les coordonnées de ce point, l’équation $V=0$ pourra prendre la forme

$y-b={\frac {{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2}}}}{{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)^{2}}}-{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2}}}}}(x-\alpha ).$

Dans la même hypothèse, les équations des deux droites $(l',l)$ prennent la forme

$y-b={\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}(x-a),\qquad y-b={\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}(x-a),$

et dès lors on reconnaît la première pour l’équation de la droite qui divise en deux parties égales l’angle des droites $(l',l),$ de sorte qu’on a ce théorème :